Es ist das Verhältnis der Anzahl von Möglichkeiten für das Ereignis A und der Gesamtzahl möglicher Ereignisse – unter der Annahme, dass alle Ausgänge gleichwahrscheinlich sind. Doch was ist unter «gleichwahrscheinlich» zu verstehen? Dass die Wahrscheinlichkeiten alle dieselben sind? Zirkelschluss! Diese Grundsatzfrage hat in der Entstehungsphase der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Menge Ärger bereitet (der erst 1933 durch die axiomatische Grundlegung der Wahrscheinlichkeit durch Andrej Kolmogorov behoben wurde).

Im täglichen Leben können wir aber durchaus vorliebnehmen mit dieser einfachsten Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses – das Maß für das Eintreten dieses Ereignisses, also ein Maß des Vertrauens –, die wir wie folgt kurz darstellen können:

Dabei steht p für «Wahrscheinlichkeit» (probabilité, probability), während mit h_n (A) die relative Häufigkeit für beliebig viele (n) Wiederholungen des Versuchs bezeichnet wird. Dies stellt eine Brücke zwischen der Fiktion Wahrscheinlichkeit und der Empirie dar, die zum sogenannten Gesetz der großen Zahlen führt. NA stellt die Anzahl der bezüglich der Ereignisqualität A günstigen Fälle dar (zum Beispiel «ungerade Zahl» beim Würfeln, dann ist NA = 3). Und N ist die Anzahl aller möglichen Fälle, unter denen Ergebnisse mit dem Ereignismerkmal A ausgewählt wurden (im Fall des Würfels ist N = 6). p(A) ist also das Verhältnis der Anzahl der bezüglich A günstigen Fälle zur Anzahl aller möglichen Fälle, unter denen diejenigen mit dem Merkmal A ausgewählt wurden (in unserem Beispiel ist p(A) = 3/​6 = 1/​2 oder 50 Prozent). Die klassische Definition führt Wahrscheinlichkeitsfragen auf kombinatorische Abzählprobleme zurück und ist einfach ein probates Konzept, das uns beim Raten hilft. Wird der Versuch tausendmal wiederholt (n = 1000), erhalten wir mit h₁₀₀₀ (A) bei einem unverfälschten Würfel einen guten Näherungswert für p(A).

Das neue Wissensgebiet fand zahlreiche Anwendungen in anderen Wissenschaften und im praktischen Leben. Fast zur gleichen Zeit, als die grundsätzlichen Überlegungen zum Walten des Zufalls angestellt wurden, entstanden auch die ersten Ansätze der angewandten Statistik. Die Quantifizierung von Glück, Unglück und Massenerscheinungen schlug sich in statistischen Tabellen nieder. 1662 machte John Graunt auf Gesetzmäßigkeiten von Geburten- und Todesfällen aufmerksam, und der bekannte Astronom Edmund Halley (1656 – 1742) lieferte die erste Sterblichkeitstafel von der Art, wie sie heute den Versicherungsberechnungen zugrunde gelegt wird. Wenn Sie zum Beispiel eine Lebensversicherung abschließen, kann dies als eine Wette darüber aufgefasst werden, ob Sie vor Ablauf einer bestimmten Frist sterben; die Versicherungsgesellschaft hält dagegen und wettet, dass Sie nicht innerhalb dieser Zeit sterben. Um zu gewinnen, müssen Sie (Ihr Leben) verlieren!

Nach und nach lieferten viele Gelehrte bedeutende Beiträge zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Abraham de Moivre, Jakob Bernoulli, der bereits erwähnte Pierre Simon de Laplace, Daniel Bernoulli, Pierre Remond de Montmort, der englische Geistliche Thomas Bayes, Carl Friedrich Gauß, Siméon Denis Poisson und andere.

Zum Beispiel hat de Moivre den Begriff der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit geprägt; Bayes entwickelte eine Theorie der Wahrscheinlichkeit a posteriori (die Formel für «bedingte Wahrscheinlichkeiten» trägt seinen Namen); Jakob Bernoulli verfasste seine «Kunst des Vermutens» (Ars conjectandi, herausgegeben postum 1713 von dem Neffen Niklaus Bernoulli), worin er als Erster das «Gesetz der großen Zahlen». (1689) bewies; Gauß untersuchte stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, vornehmlich die «Normalverteilung», gut bekannt durch ihre graphische Darstellung als Glockenkurve.

Spieltheorie als Mathematik der Interessenkonflikte

Ebenfalls bereits im 17. Jahrhundert schlugen berühmte Gelehrte wie Christiaan Huygens und Gottfried Wilhelm Leibniz vor, menschliche Konflikte im Rahmen einer eigenen Disziplin wissenschaftlich zu untersuchen. Im 19. Jahrhundert erdachten führende Ökonomen einfache mathematische Modelle zur Analyse spezieller Situationen bei Konkurrenzverhalten. 1928 war dann ein erster Höhepunkt erreicht, als John von Neumann bewies, dass es für Zweipersonen-Nullsummenspiele stets optimale gemischte Strategien gibt und sich auch ein Wert für ein solches Spiel festlegen lässt, wie wir im 3. Kapitel sehen werden.

Doch lange Zeit hatte man die einfacheren Nullsummenspiele gegenüber allen möglichen abweichenden Bedingungen und Unsymmetrien überschätzt. Vor allem hatte man unterschätzt, dass das menschliche Verhalten sich oftmals nicht nach scheinbar rationalen Kriterien richten wollte.

Das Spiel und seine Elemente

Woraus bestehen nun die Elemente eines Spiels? Im Wesentlichen sind es seine Spielregeln, dann der Spielraum, der mit Handlungen und Strategien der Akteure belebt wird. Und zu jedem Spiel gehören auch ein Einsatz und eine Auszahlung. Zunächst ein paar einführende Bemerkungen zu den Spielregeln.

Spielregeln

Zu jedem Gesellschaftsspiel gehört die Freiheit, sich dafür oder dagegen zu entscheiden; wollen wir ein paar Partien spielen, dann müssen wir uns allerdings seinen Regeln fügen – die für Gesellschaftsspiele meistens klar und übersichtlich definiert sind.

Für das Leben in der Gemeinschaft sind die Regeln vielschichtig, komplex und nicht immer klar oder eindeutig: Gesetze, moralische Gebote, Usancen usw. Hier haben wir als Akteure nicht immer die Freiheit, uns dafür oder dagegen zu entscheiden – vorausgesetzt, wir wollen uns nicht radikal entziehen.

In einer erweiterten Deutung der Welt und des Lebens als Spiel haben auch die Kreativität und die kriminelle Energie ihren Platz. Bei Verhandlungen müssen nicht selten erst die Spielregeln vereinbart werden: die Spielregelfindung als Spiel. Davon wird noch an vielen Stellen die Rede sein, vor allem dort, wo es um Kooperation und Fairness geht und wo es sich in unserer Welt darum handelt, Forderungen nach Beendigung von Machtmissbrauch zu erheben.

Einsatz und Auszahlung

Einsatz und Auszahlung sind wichtige Elemente des Spiels. Sie müssen nicht in barer Münze bestehen. Beim Kampf um eine ersehnte Stellung im «Spielfeld», das wir Arbeitsmarkt nennen, wird der Einsatz in Form von Wissen, Fertigkeiten und Arbeitskraft geleistet. Und der Preis, den jeder Spieler am Ende einer Partie erhält oder zahlt, kann, außer Geldgewinn oder -verlust, auch Prestige, der begehrte Pokal, ein Kuss, die Beeinträchtigung der Gesundheit oder gar der Verlust des Lebens sein, wovon extreme Sportspiele zeugen.

Bei biologischen Spielen, in denen keine kognitiven Berechnungen und Planungen stattfinden und die man deshalb «Spiele ohne Rationalität» nennt, bedeutet Auszahlung «Zuwachs an Nachkommen» – was die Darwin’sche Fitness (als durchschnittliche Anzahl von Nachkommen) widerspiegelt.

Spielräume und Strategien

Die Regeln legen den Spielablauf nicht restlos fest, sondern lassen gewisse Möglichkeiten offen. Diese Unbestimmtheit ist der Spielraum, der zum Wesen des Spiels gehört und es vor Erstarrung bewahrt. In unserem Spiel mit Fiktionen kommt kreativen Gedanken eine große Bedeutung zu: Sie bewirken die Handlungen und beleben den Spielraum. Nicht die Regeln sind das eigentlich Wichtige, sondern die Spielräume. Das gilt für jedes Spiel: beim Scrabble, in der Mathematik, in der Medizin, in Wirtschaft und Politik, im Leben. Definitionen und Gesetze sind zwar notwendig, stecken aber nur die formalen Raumgrenzen ab, in denen sich jeder frei bewegen darf, und diese Freiheit ist allein beschränkt durch die Kreativität der Akteure. Wirtschaft und Politik bieten ungeheure Spielräume für Visionen, Konzepte, Innovationen, Problemlösungen – und deren Realisierung. Nur bornierte Bürokraten reduzieren den Spielraum auf die Regeln.

Die Aktionen zur Belebung eines Spielraums führen zum zentralen Begriff der Strategie. Eine Strategie ist ein Plan oder Programm für den Spieler – eine Abfolge spezieller Aktionen und Entscheidungen – mit dem Ziel, einen Mitspieler zu überlisten, der das Gleiche versucht (der oft gebrauchte Ausdruck «Taktik» stellt eine Art lokale Strategie in begrenzten Verwicklungen dar). Nach Austeilen der ersten beiden Karten (und der ersten Karte für die Bank) muss der Spieler beim Black Jack (der Spielbankversion von «17 und 4») entscheiden, ob er noch eine weitere Karte haben möchte (um möglichst nahe an die Punktezahl 21 zu kommen), ob er seinen Einsatz verdoppelt (falls die ersten beiden Karten eine Punktezahl zwischen 9 und 11 ergeben) oder ob er seine beiden Karten, falls sie die gleiche Punktezahl haben, splitten will – wobei er dann noch einen gleich hohen Einsatz auf das geteilte Blatt zu leisten hat. Das Pokerspiel erfordert noch viel differenziertere Strategien, die letztlich die Absichten der Gegner durchkreuzen sollen.

Die Strategien im unerschöpflichen Spiel mit mathematischen Fiktionen werden aus kreativen Gedanken geboren. Dabei übersteigen bereits die Eröffnungsmöglichkeiten für so manchen Beweis diejenigen einer Schachpartie beträchtlich. Bevor allerdings die Gedanken ihre Kreativität wirksam entfalten können, ist viel Übung erforderlich.

Unterhaltungswert als Element der Nutzenfunktion

Die Motive zum Casinobesuch oder zur Teilnahme an einem Pokerturnier mögen vielfältig sein. Lust am Nervenkitzel und Schicksalsspruch, die Hoffnung zu gewinnen, ein bisschen Spielleidenschaft, etwas Unterhaltung: heute ist das Spielcasino eine gesellschaftliche Experimentierstube mit Zerstreuungscharakter, ein Ort der ungezwungenen Begegnungen und auch ein Ort der (ent)spannenden Traumfreiheit, der die hohe Regelungsdichte unserer Gesellschaft mildert. Das macht einen Großteil unseres persönlichen Nutzens aus.

Für viele Casinobesucher besteht jedoch der Unterhaltungswert gerade darin – zumal sie es ja mit einem Geldspiel zu tun haben –, einen monetären Nutzen aus dem Spiel ziehen zu können, meist unter Zuhilfenahme einer Taktik oder einer Strategie. Nutzenbewertung setzt eine Präferenzrelation voraus: Von zwei Dingen oder Ereignissen ist jenes nützlicher, das man vorzieht, wenn man die Wahl hat. Ein Kauf kommt nur zustande, wenn der Verkäufer den entsprechenden Geldbetrag der verkauften Sache vorzieht und der Käufer die Sache lieber hat als das Geld; der Preis muss also zwischen dem Nutzen des betreffenden Gegenstandes für den Verkäufer und dem für den Käufer liegen:

Nutzwert für den Verkäufer ≤ Preis ≤ Nutzwert für den Käufer.

Die Präferenzen jedes Individuums sind natürlich dessen höchstpersönliche Angelegenheit, und über Geschmack lässt sich bekanntlich nicht streiten. Die durch empirische Ermittlung einem Individuum zugeordnete Nutzenfunktion in Abhängigkeit von den Gewinnalternativen hängt daher von der subjektiven Einstellung der Einzelnen ab; zudem kann sich der Nutzen für ein und dieselbe Person als Funktion der jeweiligen Umweltsituation ändern. Trotzdem gelingt es, auf empirischem Weg repräsentative Nutzenfunktionen monetärer Ergebnisalternativen zu ermitteln und rational zu diskutieren, nicht zuletzt im Hinblick auf innere Kohärenz und Widerspruchsfreiheit.

Einmalige und wiederholte Spiele

Spielen lebt von der Wiederholung. Denken wir nur an Glücks- und Kartenspiele, an Tennis- und Fußballspiele, an die Olympischen Spiele, aber auch an die Musik, die ja geradezu die Kunst der Wiederholung ist. Bei wiederholten Spielen und mannigfachen Risikosituationen hat sich das Bernoulli-Prinzip, das Prinzip der maximalen Nutzenerwartung, von dem noch die Rede sein wird, als die rationale Entscheidungsregel entpuppt.

Es gibt aber auch Spiele, die nur einmal oder sehr selten gespielt werden. Das führt dazu, dass für sie oft andere optimale Strategien gelten als für oft wiederholte Spiele. Ein klassisches Beispiel hierzu ist das Gefangenendilemma, wie wir im 3. Kapitel sehen werden. Aber auch bei reinen Glücksspielen kann es vorkommen, dass ein einzelner Spieldurchgang andere Entscheidungen nahelegt als solche, die sich bei beliebigen Wiederholungen als optimal erweisen. Auch dazu werden wir ein paar Beispiele kennenlernen.

Strategische Spiele und das Militär

Beim Militär war strategisches Denken schon seit Urzeiten in Gebrauch. Doch dieses strategische Denken wurde hauptsächlich von der Erfahrung der Kriegsherren gespeist und weitaus weniger von spieltheoretischen Modellen, die meistens gar nicht in der Lage waren, die Komplexität der realen Gegebenheiten zu berücksichtigen – geschweige denn, auf unvorhergesehene oder größere zufällige Änderungen zu reagieren.

Die moderne Spieltheorie begann ihren Aufstieg 1944 mit der Veröffentlichung des Buches «Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten» von John von Neumann und Oskar Morgenstern. Der Zeitpunkt war günstig, denn während des Zweiten Weltkriegs hatten mathematische Methoden in der Planung, Logistik und Technik enorm an Bedeutung gewonnen. In diese Zeit fiel auch die Entschlüsselung von deutschen Geheimnachrichten (ENIGMA) durch eine Gruppe um Alan Turing in England. Zum ersten Mal in der Geschichte trugen Mathematiker wesentlich zum militärischen Aufgebot bei. Zahlreiche jüngere Spieltheoretiker boten ihre Dienste an. Euphorisch bejubelte Forschungsprojekte stellten Anwendungen auf die Taktik von Abfangjägern, die strategische Planung von Bombenabwürfen und die Führung von Nachkriegsverhandlungen in Aussicht. Doch die überzogenen Anpreisungen weckten beim Militär überhöhte, unerfüllbare Erwartungen, und die Beziehungen kühlten sich allmählich ab – zumindest bis zum jeweils nächsten bevorstehenden militärischen Einsatz.

Vor dem vorerst letzten großen Einsatz, dem amerikanischen Angriffskrieg gegen den Irak (2003), war es wieder so weit. Mike Davis, einer der bedeutendsten Stadtsoziologen der Vereinigten Staaten, nahm die hochtrabenden spieltheoretischen Phantasien des Pentagons in einem Artikel aufs Korn, der im April 2003 in der ZEIT erschien: «Umzingelt von einer unfehlbaren Armee. Das Pentagon arbeitet an der Abschaffung des Zufalls. Die neuen Kriege sollen geführt werden wie eine Supermarktkette.» Auszug:

Irak, «die unverzichtbare Bühne, um dem Rest der Welt Amerikas absolute Überlegenheit zu demonstrieren»? Das war im Wesentlichen die irrsinnige Ideologie des Triumvirats George W. Bush, Dick Cheney und Donald Rumsfeld. Und was aus den größenwahnsinnigen Plänen der Militärs im Irak geworden ist, nämlich Chaos und barbarischer Bürgerkrieg, wissen wir ja.

Dass die Sonne morgen wieder aufgehen wird, ist wesentlich wahrscheinlicher, als dass ich es erleben werde; und Letzteres ist wiederum wesentlich wahrscheinlicher, als dass mir in den nächsten Minuten ein Flugzeug aufs Dach fällt. Doch auch das Unwahrscheinlichste passiert. Roy Sullivan, Park Ranger aus Virginia, wurde in seiner 35-jährigen Karriere siebenmal vom Blitz getroffen, meist bei der Arbeit, aber einmal auch im Büro oder vor seinem Haus auf dem Weg zum Briefkasten; er erschoss sich mit über 70 Jahren, angeblich aus Liebeskummer. Wer nicht an den Zufall glaubt, sagt «Bestimmung» dazu; doch besser und wirklich erklären kann er damit bestimmt nichts. Sie haben es erraten: Es geht in diesem einleitenden Kapitel bereits um Zufall und Determinismus, einen grundlegenden Dualismus.

prinzipiell REINE

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Determinismus impliziert die Herausforderung, den Lauf der Welt vorherzusagen. Doch die Lehre von der geschichtlichen Notwendigkeit war für den Wissenschaftsphilosophen Karl Popper der «reinste Aberglaube». Beweis: Der Lauf der Welt ist wesentlich vom Zuwachs des menschlichen Wissens bestimmt; das ist aber nicht vorhersehbar – sonst wüssten wir bereits, was wir erst wissen werden.

(alles ist vorherbestimmt)

Ist dann der Laplace’sche Dämon, dieses absolute Extrem, in der Makrowelt im Prinzip überhaupt ernsthaft denkbar? Oder ist er vielmehr von vornherein ein prinzipiell unmögliches Denkkonstrukt? Darauf werde ich im Kapitel 8 zurückkommen.