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I.

ESTÁTICA

1.1 Introducción

L a estática es la parte de la mecánica que estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos, es decir, las condiciones que mantienen el estado de inmovilidad o reposo. La mecánica, parte de la física, es una materia fundamental en los campos de la ingeniería mecánica y de la ingeniería estructural, disciplinas que en la era moderna han contribuido sustancialmente a su desarrollo y aplicación práctica en los problemas tecnológicos que les conciernen.

Arquímedes (287-212 A.C.) nacido en Siracusa, Sicilia, uno de los más grandes intelectos de la humanidad, fue el primero en manejar los conceptos básicos de equilibrio. Aparte de sus contribuciones a la mecánica y a la astronomía, hizo aportes notables en matemáticas y física. Formalizando el llamado método exhaustivo de Eudoxio (408-355 A.C.), Arquímedes inventó el cálculo integral, y también fue precursor del cálculo diferencial, anticipándose en casi 20 siglos a Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716) y Fermat (1601-1665) que lo impulsaron, hasta que finalmente Cauchy (1789-1857) y Riemann (1826-1866) le dieron una base matemática definitiva. En la física, su obra maestra es la hidrostática, que se refiere al estado de equilibrio de los fluidos y flotación de los cuerpos. Cuenta la leyenda que su famoso descubrimiento de que un cuerpo sumergido disminuye aparentemente su peso en igual cantidad que el peso del volumen de líquido desplazado (el Principio de Arquímedes), lo hizo mientras se bañaba y observaba flotar su propio cuerpo, por lo que entusiasmado salió corriendo desnudo a las calles gritando “¡eureka, eureka!”, que significa “lo tengo, lo encontré”.

La mención de la obra de Arquímedes en esta introducción no es casual. Sus descubrimientos, inspirados en una notable intuición y motivados por la solución de problemas prácticos, fueron expresados y pueden comprenderse sin tener que recurrir a un marco teórico y analítico complejo. Cabe mencionar que en la época de Arquímedes el álgebra elemental y la simbología usual de hoy en día eran totalmente desconocidas. Esta forma de pensar se utilizará en la presentación de los temas de análisis, confiando mucho en la intuición física y geométrica, y en la imaginación, para despertar en los estudiantes de arquitectura similar actitud. Es decir, se procurará llegar a los conceptos fundamentales por caminos simples, evitando las complejidades matemáticas, pero sin comprometer el rigor y fidelidad a la esencia de los conceptos mismos.

La estática de los cuerpos rígidos se enmarca en definitiva como caso particular de las Leyes de Newton, presentadas en 1686 en su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. A pesar de la importancia de las ideas previas de Galileo (1564-1642) sobre las causas del movimiento de un cuerpo, y las del movimiento planetario de Kepler (1571-1630), Isaac Newton es el padre de la dinámica y de la mecánica celeste. Sus ideas del espacio y del tiempo absoluto no fueron objetadas sino hasta más de doscientos años después, cuando Einstein (1879-1955) presentó la Teoría de la Relatividad en 1905.

La primera de las tres leyes del movimiento de Newton establece que: “Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado por la acción de una fuerza aplicada sobre él”. Conforme a esta ley, la condición de equilibrio estático exige que la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sea nula.

La aplicación de la ley requiere la definición del concepto de fuerza, que se presenta en las secciones siguientes, y del concepto de momento, lo que se hará más adelante. Cabe sin embargo destacar que la condición de resultante nula es necesaria y suficiente para el equilibrio sólo en el caso de cuerpos rígidos. Se entienden por tales aquellos que no experimentan deformaciones al ser sometidos a fuerzas. La condición de rigidez infinita no se cumple en los materiales reales, los que por más fuertes que sean, igual experimentan deformaciones. Sin embargo, en la práctica basta conque las deformaciones sean pequeñas, es decir lo suficientemente pequeñas para que la alteración geométrica de la configuración de equilibrio sea despreciable. La necesaria hipótesis de deformaciones pequeñas se cumple normalmente en las construcciones de la práctica, primero porque los materiales tienen rigidez suficiente, y segundo, porque además los criterios de diseño imponen también límites a las deformaciones de las estructuras, por una serie de razones que lo hacen conveniente y que se discutirán en su oportunidad. Con esta aclaración, se entenderá que al hablar del cuerpo rígido se estará haciendo referencia a elementos o estructuras poco deformables.

Ejemplo 1.1

Este ejemplo ilustra la forma en que Arquímedes aplicó el método exhaustivo, precursor del cálculo integral, al cálculo de áreas de contornos curvilíneos y volúmenes limitados por superficies curvas. En este caso se aplica al cálculo del área bajo una parábola, uno de los casos resueltos por Arquímedes.

Una parábola se define por la función y=f(x)=a+bx² en que a y b son constantes cualesquiera; en el caso de la Fig. E1.1.a a=0, de modo que para cualquier punto de la curva de coordenadas x_o e y_o se cumple y_o =bx_o ². El área que se desea calcular es el área achurada en la Fig. E1.1.b, es decir el área A bajo la curva parabólica en el intervalo limitado por x=0 y x=c.

Figura E1.1

Solución: Para ello se subdivide el intervalo de x entre 0 y c en n partes (en particular n=8 en las Figs. E1.1.c y d) y se calculan dos aproximaciones al área buscada: una por defecto (área achurada en la Fig. E1.1.c) y otra por exceso (área achurada en la Fig. E1.1.d). El área achurada en la Fig. E1.1.c es

mientras el área achurada de la Fig. E1.1.d es

se dice entonces que el área buscada A está acotada entre s

y en la medida que se aumente progresivamente el número n de subdivisiones la aproximación a la curva mejorará y la diferencia entre s_n y S_n se hará cada vez más pequeña, determinándose A con un valor tan preciso como se quiera, quedando el problema resuelto. Sin embargo, estudiando las series s_n y S_n puede demostrarse que si se toma un número infinito de términos, las sumatorias convergen a un número o límite finito:

y por lo tanto el área bajo la parábola es exactamente A=bc³/3, o sea, A es un tercio del área del rectángulo OIJK de la Fig. E1.1.b.

1.2 Ley de Gravitación Universal

Las antes mencionadas leyes de Kepler establecen las características cinemáticas, es decir geométricas, del movimiento de los planetas en torno al sol. Ellas fueron descubiertas en forma empírica, después de veinte años de observación y cálculos, pero no tenían una base teórica que las sustentara. En efecto, el concepto de fuerza no se había establecido con claridad hasta que Newton lo enmarcó en el contexto de sus Leyes del Movimiento y su Ley de Gravitación Universal. Precisamente, a partir de las leyes de Newton las observaciones de Kepler pueden derivarse o demostrarse con relativa facilidad.

La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que “dos partículas materiales en el universo se atraen entre sí con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las une”:

Las fuerzas F se ejercen en la línea que une las partículas. La fuerza que actúa en la masa m₂ es la acción de la masa m₁ sobre ella y viceversa (Fig. 1.1). La constante G, denominada constante de gravitación universal, tiene el mismo valor para cualquier pareja de partículas, y debe determinarse experimentalmente. Numerosos experimentos han permitido calcular y mejorar el valor de G, aceptándose hoy G=6,673xl0^-11 Newton-m²/kg². Este valor es muy pequeño de manera que la fuerza de atracción entre cuerpos en la superficie de la Tierra es muy pequeña (ver Ejemplo 1.2).

Figura 1.1 Atracción recíproca de masas

Figura 1.2 Partícula m a distancia d de la superficie terrestre

De la Ley de Gravitación Universal se obtiene la fuerza de atracción sobre un cuerpo de masa m próximo a la superficie de la Tierra. En efecto, con la notación de la Fig. 1.2 se tiene

Utilizando los valores del radio de la Tierra R=6.380 kilómetros y de la masa de la Tierra M=5,983x10²⁴ kilogramos, y suponiendo que d es muy pequeño frente a R se obtiene

Esta fuerza, de origen gravitacional, es lo que entendemos como peso del cuerpo de masa m. Comparando la Ec. 1-3 con la 2^a Ley de Newton

en que F es la fuerza que actúa sobre un cuerpo y “a” la aceleración que este adquiere debido a la acción de dicha fuerza, se define la aceleración de gravedad

Cabe notar que g no es constante. En efecto, según la Ec. 1-2 es obvio que depende de R y d. Como el radio de la Tierra no es constante, sino 21 kilómetros menor en los polos que en el Ecuador, g varía con la latitud, siendo menor en el Ecuador y mayor en los polos. A su vez, en la medida que un cuerpo adquiere altitud, d deja de ser despreciable, como se supuso anteriormente, y tanto g como su peso disminuyen. Por otra parte, la distribución de masa de la Tierra no es homogénea de modo que también hay variaciones. Finalmente, también influye en el peso de los cuerpos la aceleración centrípeta debida a la rotación de la Tierra; este efecto, nulo en los polos y máximo en el Ecuador se manifiesta como una pequeña disminución adicional del peso.

Para completar esta sección se discutirá el tema de las unidades en que se expresan las cantidades físicas antes definidas. En física, el sistema de medidas más usado es el MKS, sigla que se refiere a las unidades de metro, kilogramo y segundo, que utiliza para las cantidades básicas de longitud, masa y tiempo. La aceleración, que es una cantidad derivada, se define como

en que Δv es el cambio de velocidad que experimenta el objeto considerado en el intervalo de tiempo Δt. A su vez, la velocidad se define como el cambio de posición Δs, o camino recorrido, en el intervalo de tiempo Δt

es decir, la velocidad se puede expresar directamente como el cuociente entre dos unidades básicas. Se tiene entonces que la aceleración tiene unidades de velocidad partida por tiempo, es decir metros/seg², como se indicó en la Ec. 1-5 para la aceleración de gravedad (notar que el metro se abrevia simplemente con la letra eme, pero ello se ha evitado en esta Sección pues la misma letra se utiliza para designar la masa). Con la aceleración en metros/seg² y la masa en kilogramos, la Ec. 1-3 entrega el peso del cuerpo en Newtons

El Newton es la unidad de fuerza del sistema MKS, ya que está expresado en términos de las unidades básicas del sistema. En la práctica común, y también en ingeniería y construcción, es usual utilizar una unidad diferente, el kilogramo-peso o kilogramo-fuerza. En esta dimensión responde el lector cuando le preguntan ¿cuánto pesas?, y es la misma que se utiliza cuando en la balanza del supermercado le pesan 2 kilos de fruta.

El kilogramo-peso se define como el peso de un kilogramo masa en condiciones estándar de latitud y altitud. Pero un kilogramo-masa para las mismas condiciones pesa 9,8 Newtons, de acuerdo a la Ec. 1-3, luego

Simplemente entonces, el kilogramo-peso y el Newton son unidades de peso diferentes: una persona que pesa 60 kilos también puede responder que pesa 588 Newtons. Para evitar la confusión entre kilogramo-masa, que se abrevia kg, y kilogramo-peso o kilogramo-fuerza, se han sugerido las designaciones kgp o kgf para éstos últimos, sin embargo ello no ha prosperado y en la práctica también se designan simplemente por kg. En este texto se entenderá que siempre el kilogramo a secas, abreviado kg, se refiere a una unidad de fuerza; cuando la distinción es delicada, como en los problemas dinámicos que requieren trabajar con masas, se harán las precisiones pertinentes.

Ejemplo 1.2

Determinar la fuerza de atracción recíproca entre dos masas de 400 kg cada una separadas 1 metro entre sus centros.

Solución: Aplicar la fórmula

Como puede apreciarse la atracción es muy pequeña: aproximadamente una milésima de gramo-peso. Estas fuerzas tienen la dirección de la línea que une los centros de los cuerpos.

1.3 Concepto de Fuerza

1.3.1 Propiedades de una Fuerza

Una fuerza tiene tres propiedades: magnitud, dirección y sentido, las que deben ser simultáneamente especificadas para su correcta individualización (Fig. 1.3). La magnitud, o módulo, indica el tamaño o intensidad de la fuerza, por ejemplo, fuerzas de 100 kg, 200 kg y 1.000 kg tienen distinta magnitud. Gráficamente la magnitud se indica mediante la longitud del trazo que la representa, adoptando, si es necesario, una escala determinada. La dirección de la fuerza corresponde a su línea de acción, que es la recta en el espacio donde reside la fuerza. El sentido indica hacia qué extremo de la línea de acción apunta la fuerza, lo que se designa gráficamente por una punta de flecha.

La fuerza es un ente que corresponde a lo que en matemáticas se denomina una cantidad vectorial, que se diferencia de las cantidades llamadas escalares en que estas últimas tienen como única propiedad la magnitud. Ejemplos de cantidades escalares son volumen, masa, temperatura, peso ($), las que se pueden sumar y restar directamente como cantidades algebraicas. Ejemplos de cantidades vectoriales, aparte de las fuerzas, son, entre otras, velocidad, aceleración y posición en el espacio. Las operaciones con estas cantidades involucran sus tres propiedades, de modo que deben definirse reglas especiales diferentes al álgebra elemental, como se presentará en las Secciones siguientes.

Figura 1.3 Modelo de fuerza

1.3.2 Tipos de Fuerzas

En la Sección 1.2 se fundamentó la causa del peso de los cuerpos como la fuerza con que la Tierra los atrae. Este tipo de fuerzas, siempre presentes en las estructuras, se denominan cargas gravitacionales, las que obviamente tienen dirección vertical y sentido hacia abajo. Entre éstas se distinguirán las llamadas de peso propio o peso muerto y las cargas de uso o sobrecargas o cargas vivas. Las cargas de peso propio comprenden todas las cargas permanentes sobre la estructura: el peso propio de los materiales de obra gruesa y terminaciones, y todas las cargas inmóviles de larga duración, como por ejemplo la tierra de relleno de una jardinera del balcón de un edificio. Las sobrecargas comprenden, en el caso de edificios, las personas y el mobiliario. En otras obras, como puentes, la sobrecarga es el tráfico vehicular; en un embalse o en un muro de contención, la carga de uso es la presión del agua o el empuje del terreno respectivamente. Los valores de las sobrecargas para diseño son en general valores extremos, para condiciones extremas de uso de relativamente baja probabilidad de ocurrencia en la vida útil de la estructura (ver Tabla V.1).

Otro grupo importante de cargas son las llamadas ambientales. Entre ellas se encuentran los efectos del viento, sismos, temperatura y nieve, aunque esta última es por cierto también de tipo gravitacional. Las cargas de viento y sismo, y en ciertos casos la nieve, se denominan también cargas eventuales, porque corresponden a acciones que son de ocurrencia esporádica.

El viento es una masa de aire que se desplaza con cierta velocidad que al chocar con las construcciones genera presiones y succiones sobre las superficies que recorre. Estas fuerzas dependen de la forma del cuerpo expuesto al viento, ya que aquél puede ofrecer mayor o menor resistencia al paso de éste, y son perpendiculares a las superficies del cuerpo (Fig. 1.4). Las fuerzas de viento dependen de su velocidad, la que aumenta con la altura sobre el nivel del terreno, y de la ubicación de la construcción: en la ciudad, a campo abierto, o frente al mar.

El movimiento del suelo durante un terremoto, tanto en el plano horizontal como en la dirección vertical, ocasiona deformaciones en las estructuras, las que producen esfuerzos internos en los elementos estructurales resistentes. En forma muy simplificatoria, la acción del sismo sobre un edificio puede asimilarse a un conjunto de fuerzas laterales equivalentes, como muestra la Fig. 1.5. Típicamente, para un edificio la mayor preocupación es el efecto lateral u horizontal del sismo, ya que generalmente hay más que suficiente resistencia vertical que ha debido proveerse para soportar las cargas gravitacionales.

Figura 1.4 Efecto del viento sobre una construcción

Figura 1.5 Solicitaciones sísmicas en edificios: a) Caso real, b) Fuerzas laterales equivalentes

En general, las cargas sobre una estructura no se deciden en forma arbitraria, sino hay normas que las especifican. Entre ellas cabe mencionar las siguientes normas chilenas: la NCh1537.Of86 que especifica las cargas permanentes y sobrecargas de uso para el diseño estructural de edificios, la NCh431.Of77 que especifica las sobrecargas de nieve, la NCh432.Of71 para el cálculo de la acción del viento sobre las construcciones, y la NCh433.Of96 para el diseño sísmico de edificios.

Entre las cargas ambientales se mencionó la temperatura. Aunque hay diversas fuentes calóricas, se han clasificado estas cargas así, ya que la fuente primordial de calor es la energía solar, e inversamente, su ausencia genera enfriamiento. El aumento de temperatura genera dilatación de los cuerpos, y su disminución contracción. Si se opone resistencia a estos cambios de volumen, se producen fuerzas que pueden llegar a ser extraordinariamente grandes, tan grandes que pueden producir la rotura de los cuerpos afectos a ellas. Por ello se proveen juntas de dilatación en estructuras y pavimentos, para permitir que las deformaciones térmicas ocurran libremente y no se generen fuerzas. En los puentes se provee un apoyo móvil, montando uno de sus extremos sobre un soporte de material elastomérico, para permitir el cambio de longitud de la estructura (Fig. 1.6). Similar a la temperatura es el efecto de retracción del hormigón, que corresponde a una disminución de su volumen, muy rápida en las primeras etapas del fraguado, pero que continúa por meses y años durante toda la vida del hormigón. Cuando hay oposición a la retracción natural del hormigón, aparecen fuerzas de tracción en él, las que ocasionan la aparición de fisuras, que no son otra cosa que expresión de la rotura del hormigón por tracción, esfuerzo para el cual este material es particularmente débil.

Figura 1.6 Apoyos de un puente

Figura 1.7 Fuerzas realizadas por máquinas o el hombre

Otras fuentes de fuerzas son las que realizan las máquinas, y el hombre (Fig. 1.7), las que desde luego pueden ser de las más variadas características.

Una categoría de fuerzas de particular importancia son las llamadas reactivas. Estas aparecen como consecuencia del impedimento al desplazamiento de un cuerpo, y pueden a veces ser más difíciles de reconocer pues en cierta forma están ocultas y su presencia debe ser inferida, al contrario de las fuerzas gravitacionales, o una fuerza ejercida por un hombre, por ejemplo, que se manifiestan en forma explícita. Considérese por ejemplo el bloque de peso W de la Fig. 1.8.a que descansa sobre el piso horizontal. Es fácil imaginar que en el sistema considerado actúa la fuerza vertical W, pero debemos deducir que sobre el bloque también actúa una fuerza R de dirección vertical y sentido hacia arriba. Tal fuerza aparece exclusivamente como resultado de la restricción que el piso impone al posible desplazamiento vertical del bloque. En efecto, si el piso no estuviese, el bloque iría viajando en caída libre vertical; como tal movimiento no ocurre debe existir una fuerza que precisamente lo impide. Notar que existe una íntima relación entre la fuerza reactiva y el desplazamiento impedido: ambos tienen la misma línea de acción pero sentidos opuestos. Esta relación constituirá un elemento clave para reconocer la presencia de fuerzas reactivas: en general, las condiciones de un problema incluirán ciertas restricciones de desplazamiento, en correspondencia con las cuales deberán existir fuerzas reactivas asociadas que las materialicen. Por supuesto se puede anticipar que en este ejemplo el equilibrio exige R=W.

Figura 1.8 Fuerzas reactivas

En la Fig. 1.8.b se observa el mismo bloque anterior al cual se ha aproximado un hombre a ejercer una fuerza horizontal H. Si el bloque se mantiene en reposo se deduce que no sólo hay restricción a su movimiento vertical, sino también a su desplazamiento horizontal hacia la izquierda. Como existen dos desplazamientos impedidos, se concluye la existencia de dos fuerzas reactivas asociadas a ellos R_v vertical y R_h horizontal. Cabe notar además que la fuerza reactiva R_h se genera en respuesta a la demanda H, es decir si ésta no estuviese presente, no existiría R_h, porque no existiría posibilidad alguna de movimiento en dirección horizontal. Notar también que esta discusión es independiente del mecanismo físico que origina la fuerza R_h; si el reposo se ha mantenido puede ser simplemente porque existe suficiente fricción en el contacto del bloque con el piso, o bien porque el bloque está clavado al piso.

1.3.3 Centro de Gravedad

A excepción de las partículas, en los cuerpos la masa (materia) está distribuida en la extensión de su volumen, por ello, el peso de un cuerpo está también repartido espacialmente.

Esta distribución del peso puede visualizarse considerando un cuerpo de forma simple, como por ejemplo el tablero rectangular de madera, de espesor constante, que muestra la Fig. 1.9.a. Suponiendo que el material es homogéneo, es decir que sus propiedades son las mismas en toda su extensión, cualquier porción de igual volumen tiene el mismo peso. Si imaginariamente se considera el tablero subdividido en 25 partes, como en la Fig. 1.9.a, cada parte pesa p=P/25, siendo P el peso total del tablero. Por cierto, puede pensarse en un número muy grande de partes, y cada parte pesará la fracción correspondiente del total, llegándose a una distribución uniforme muy fina del peso total.

Figura 1.9 Tablero de madera: a) peso distribuido, b) peso concentrado

Trabajar con la distribución real de la masa de un cuerpo exigiría considerar un número enorme de pequeñas fuerzas correspondientes a su peso distribuido. Ello sería muy complejo, aún para cuerpos de forma simple como el de la Fig. 1.9. Afortunadamente tal complejidad es innecesaria porque desde el punto de vista del equilibrio en todo cuerpo existe un punto, llamado centro de gravedad, en el cual puede suponerse actuando concentradamente su peso total, como se muestra en la Fig. 1.9.b para el ejemplo del tablero. Se dice entonces que la fuerza o peso total P de la Fig. 1.9.b es estáticamente equivalente a la distribución uniforme de pesos p de la Fig. 1.9.a.

El centro de gravedad no es un punto arbitrariamente definido sino un punto que efectivamente tiene una propiedad física muy especial. Por ejemplo, si se quiere equilibrar el tablero apoyándolo en un solo punto (en la punta de un clavo o de un dedo), el único punto que permitirá lograr el equilibrio es el centro de gravedad (CG). Es decir, físicamente, el CG es el “centro” de la masa, o como también podría decirse, es el punto “promedio” de la distribución espacial de la masa.

Esta condición de “centro” o “promedio” permite deducir que siempre que un cuerpo homogéneo tenga un eje de simetría el CG estará sobre dicho eje. Ello porque siempre un eje de simetría divide el cuerpo en dos partes iguales, o sea de igual forma y peso, por lo tanto el “centro” no puede estar a uno ni otro lado de la línea divisoria sino sobre ella. Esto permite localizar en forma inmediata el CG de formas geométricas simples, ya que si hay dos ejes de simetría el CG debe estar en su intersección. Naturalmente en el caso de volúmenes, siempre que exista un plano de simetría el CG estará sobre él. La Fig. 1.10 muestra los CG de varios cuerpos simples: rectángulo, círculo, anillo, barra, esfera. En la Tabla V.2 se presentan propiedades y centros de gravedad de cuerpos comunes.

Figura 1.10 Centros de gravedad de formas geométricas que presentan simetría

El caso del triángulo merece especial consideración. En un triángulo se definen las transversales de gravedad como las líneas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. La Fig. 1.11.a muestra t_c, la transversal de gravedad correspondiente al vértice C. Obviamente t_c no es un eje de simetría, pero tiene la particular propiedad de dividir el triángulo en dos mitades iguales: de igual área y de igual peso si el material es homogéneo. De igual área porque por definición el punto D en la Fig. 1.11.a divide el lado AB en dos partes iguales de longitud c/2, luego las áreas de los triángulos ADC y BCD son ambas iguales a ch/4 (un medio de la base por la altura). Además las distancias de A y B a t_c son iguales, y también deben serlo las distancias de los centros de gravedad de los triángulos ADC y DBC a t_c, luego el CG del triángulo ABC debe estar sobre la línea t_c. Si se traza cualquiera de las otras dos transversales de gravedad, t_a por ejemplo, el CG debe estar en la intersección de t_a y t_c. Aún más, como lo anterior ocurre para cualquier par de transversales que se escoja (t_a con t_c, t_b con t_c, o t_a con t_b) queda demostrado que las tres transversales de gravedad son concurrentes y que el CG es el punto de concurrencia (Fig. 1.11.b). Además, puede demostrarse que el CG intercepta a cada una de las transversales en segmentos cuyas longitudes están en la razón 1:2, es decir, la distancia de C a CG es el doble de la distancia de CG a D.

Figura 1.11 Centro de gravedad de un triángulo

Figura 1.12 Subdivisión discreta de un área plana

A continuación se considera la determinación de la ubicación del centro de gravedad para el caso de cuerpos planos homogéneos. Sea un cuerpo de forma cualquiera como el que se muestra en la Fig. 1.12, el cual se ha subdividido en un número n de áreas conocidas, en que el área del segmento i es A_i y la posición del CG del segmento i está definida por las coordenadas x_i, y_i. En los bordes curvos la subdivisión deberá ser más fina, con el objeto de representar la forma del cuerpo de la manera más fiel posible mediante pequeños segmentos de formas regulares, como rectángulos, triángulos o trapecios. Las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo se definen como:

Notar que las definiciones anteriores no son otra cosa que lo que normalmente se conoce como un promedio ponderado. En efecto, por ejemplo, lo que se denomina el promedio ponderado acumulado del rendimiento académico de un estudiante universitario tiene exactamente la misma definición:

en que N_i es la nota en el curso i, c_i su número de créditos, y n el número de materias cursadas. El concepto de “ponderación” refleja el hecho que los cursos no tienen igual “peso” pues tienen distinto creditaje, por ello las notas deben ponderarse asignándoles un valor proporcional al creditaje. El promedio “corriente” de notas de igual valor, es decir sin corrección por creditaje u otro factor, es simplemente:

lo que corresponde a considerar c_i ≡ 1 para todo i.

El método de cálculo implícito en las Ecs. 1-10 y 1-11 obviamente corresponde al concepto aplicado por Arquímedes (Ejemplo 1.1). Naturalmente, por otra parte, las ecuaciones mencionadas se transforman en integrales cuando el modelo deja de ser discreto (subdivisión en un número finito de partes) y se aborda como un continuo (subdivisión en infinitas partes).

Ejemplo 1.3

Determinar el centro de gravedad de un cartón delgado de la forma que se muestra en la Fig. E1.3.a

Figura E1.3

Solución: Se escoge un sistema de ejes de referencia, como por ejemplo el indicado en la Fig. E1.3.b. Por cierto hay distintas alternativas y libertad para escoger el sistema de ejes, aunque en algunos casos puede haber elecciones más convenientes que simplifiquen los cálculos.

A continuación se subdivide el cuerpo en segmentos de área simples cuyos CG son conocidos. En este caso, se ha subdividido el cartón en tres cuadrados iguales (Fig. E1.3.b) de modo que sus áreas y centros de gravedad son:

luego:

El CG calculado se muestra en la Fig. E1.3.c

Ejemplo 1.4

Determinar el centro de gravedad del cuerpo plano homogéneo de la Fig. E1.4 que tiene dos perforaciones circulares de radio “a”.

Figura E1.4

Solución: Este ejemplo ilustra que en la subdivisión del cuerpo en segmentos pueden considerarse áreas “en exceso” las que por cierto deben simultáneamente sustraerse. En efecto, en este caso los segmentos escogidos y sus áreas son: A₁ =54a²=área total del rectángulo, y₂ A =A₃ =πa²=área de las perforaciones. Entonces, al utilizar las Ecs. l-10 y 1-11, A₂ y A₃ deben incorporarse con signo negativo, para restarlas del área A₁ que las incluyó a pesar de ser espacios vacíos:

Ejemplo 1.5

Determinar el centro de gravedad de un alambre delgado, de peso constante por unidad de longitud, doblado en forma de M como se muestra en la Fig. E1.5.a.

Figura E1.5

Solución: Este ejemplo ilustra un caso de distribución de masa sobre una línea. Escogiendo los ejes de referencia y numerando los segmentos como se indica en la Figura E1.5.b, y siendo L la longitud de los segmentos 2 y 3:

los cálculos se organizan en la siguiente tabla:

Ejemplo 1.6

Determinar la posición del centro de gravedad de un círculo homogéneo de espesor constante al que se le ha recortado un cuadrado como se muestra en la Fig. E1.6.

Figura E1.6

Solución: Similarmente al procedimiento usado en el Ejemplo 1.4, se tiene:

1.4 Operaciones con Fuerzas

1.4.1 Principio de Transmisibilidad de una Fuerza

El Principio de Transmisibilidad establece que desde el punto de vista del equilibrio una fuerza puede considerase actuando en cualquier punto de su línea de acción. Naturalmente, este principio es consistente con el concepto de fuerza definido en la Sección 1.3.1; en efecto, una fuerza queda definida por su dirección o línea de acción, no siendo necesario para el equilibrio explicitar en qué punto específico de ella se ubica. Así, la fuerza de la Fig. 1.3 puede “desplazarse” a cualquier posición dentro de su línea de acción, manteniendo inalterado su efecto estático. Obviamente en lo anterior está implícito que si la fuerza actúa sobre un cuerpo, el principio no permite trasladarla para hacerla actuar sobre otro cuerpo.

La Fig. 1.13.a muestra un hombre que tira de una cuerda para sostener una carga. La Fig. 1.13.b muestra el modelo de la situación anterior. La fuerza que realiza el hombre, designada por F, tiene por línea de acción la dirección de la cuerda, siendo indiferente su posición. Físicamente, puede pensarse en este caso que la fuerza F que ejercen las manos del hombre se “transmite” sin variación a lo largo de la cuerda, de manera que en cualquier punto que se “corte” ficticiamente la cuerda, para modelar el problema, estará actuando igual fuerza F. Igual discusión puede realizarse en relación la carga de peso W; en el modelo, W se ubicará en cualquier posición de la línea vertical que pasa por el centro de gravedad del cuerpo.

Figura 1.13 Situación real y su modelo

Es relevante discutir a continuación por qué se precisó que la transmisibilidad de las fuerzas es válida sólo desde el punto de vista del equilibrio. Tal precisión es necesaria porque desde el punto de vista del cuerpo que experimenta la fuerza, el punto de aplicación de ella sí es relevante. En efecto, los esfuerzos internos en un objeto, en general serán diferentes si la fuerza externa se aplica en puntos diferentes. El ejemplo de la Fig. 1.14 ilustra este punto: la Fig. 1.14.a muestra a un hombre al que se le aplica una fuerza H “empujando” sobre uno de sus brazos, mientras la Fig. 1.14.b muestra al mismo hombre, pero ahora la fuerza H está “tirando” de su otro brazo. Obviamente lo que “siente” el hombre, es decir, los esfuerzos internos en él, son distintos; sin embargo, para efectos de su equilibrio, las fuerzas que el piso ejerce sobre él son idénticas en ambos casos (siempre que él se mantenga rígidamente erguido en igual posición en las dos situaciones descritas).

Figura 1.14

1.4.2 Composición de Fuerzas

La operación de composición de fuerzas corresponde a lo que ordinariamente se llama realizar la “suma” de las fuerzas. La palabra composición, sin embargo, enfatiza que tal operación no es una simple suma, ya que en ella intervienen simultáneamente las tres propiedades de las fuerzas: magnitud, dirección, y sentido. La composición puede realizarse en forma analítica utilizando el álgebra vectorial, pero ello no se hará aquí, ya que tales conocimientos no son requisito para los lectores de este texto; en cambio, se privilegiará una presentación geométrica, que tiene la ventaja adicional de mantenerse más próxima a la realidad física del problema. Un método analítico simple, que sólo requiere el uso de la trigonometría, se verá más adelante en el Ejemplo 1.8.

Sean P₁ y P₂ (Fig. 1.15.a) dos fuerzas concurrentes en el punto O, su composición se realiza aplicando la Ley del Paralelogramo que establece que la resultante de dos fuerzas concurrentes es la diagonal del paralelogramo formado por ellas. Notar que dos fuerzas concurrentes son forzosamente coplanares. La construcción geométrica se realiza en la forma indicada en la Fig. 1.15.b: por el extremo A₁ de la fuerza P₁ se traza una paralela a la fuerza P₂, y por el extremo A₂ de la fuerza P₂ se traza una paralela a la fuerza P₁, formándose el paralelogramo OA₁ BA₂. La fuerza R aplicada en O, de magnitud igual a la diagonal del paralelogramo, de dirección OB, y sentido de O a B, es la resultante de P₁ y P₂, es decir su efecto es enteramente equivalente a la acción conjunta de P₁ y P₂. Se dice entonces que R es estáticamente equivalente a P₁ y P₂ y se escribe simbólicamente:

La extensión del procedimiento anterior al caso de varias fuerzas coplanares concurrentes es trivial. Efectivamente, basta con proceder en forma sucesiva con pares de fuerzas. La Fig. 1.16.a muestra en un sistema dado de 3 fuerzas. En la Fig. 1.16.b se muestra la composición de P₁ y P₂ obteniéndose la resultante parcial P₁₂, y finalmente, en la Fig. 1.16.c se componen P₁₂ con P₃ obteniéndose la resultante final R. Se tiene entonces:

Naturalmente el punto O de la Fig. 1.16.c es coincidente con el punto O de la Fig. 1.16.a; la presentación en tres figuras separadas sólo ha tenido por objeto mostrar con mayor claridad las etapas de la construcción geométrica.

Figura 1.15 Composición de fuerzas

Figura 1.16 Composición de 3 fuerzas concurrentes

Figura 1.17 Composición de fuerzas no concurrentes

En el caso de fuerzas coplanares no concurrentes a un punto, el procedimiento anterior puede aplicarse con ayuda del principio de transmisibilidad de las fuerzas. Sean tres fuerzas coplanares cualesquiera como P₁, P₂ y P₃ de la Fig. 1.17.a. Las fuerzas P₁ y P₂ pueden primero trasladarse a su punto de intersección O₁ (Fig. 1.17.b), y construir allí el paralelogramo correspondiente para encontrar su resultante P₁₂. A continuación se componen las fuerzas P₁₂ y P₃, trasladándolas a su punto de intersección O₂ (Fig. 1.17.c), donde se construye su paralelogramo para determinar R, fuerza estáticamente equivalente al sistema original dado:

Las construcciones geométricas anteriores no son factibles si las fuerzas son paralelas. En tal caso se puede proceder mediante la construcción del Polígono Funicular, que se verá en la Sección 1.4.5, pero también es posible utilizar el concepto de centro de gravedad, como se describe a continuación. Sean varias fuerzas coplanares paralelas P₁, P₂, P₃ y P₄, como ilustra la Fig. 1.18, y sean x₁, x₂, x₃, y x₄ sus distancias a un origen de referencia O. La resultante de este sistema tiene magnitud R igual a la suma de las magnitudes de las fuerzas dadas:

y su línea de acción pasa por el punto de coordenada x* tal que (Ec. 1-10):

La regla anterior funciona incluso si algunas fuerzas tienen sentido contrario. El caso especial en que la suma algebraica de las magnitudes de las fuerzas es nula, i.e. x*=∞, se interpretará físicamente más adelante.

Figura 1.18 Composición de fuerzas coplanares paralelas

1.4.3 El Polígono de Fuerzas

Una forma geométrica alternativa de encontrar la resultante de un sistema de fuerzas es construir el polígono de ellas, lo que se realiza copiando paralelamente las fuerzas una a continuación de la otra. Por ejemplo, considerando el sistema de fuerzas dado en la Fig. 1.16.a, el polígono de las fuerzas corresponde a la línea OABC de la Fig. 1.19.a y la fuerza resultante R es la que va desde el inicio de la primera fuerza al término de la última, es decir de O a C. Obviamente, para realizar la construcción del polígono de fuerzas es inmaterial el orden en que se copian las fuerzas, resultando siempre el mismo punto final para cualquiera de las combinaciones posibles.

Figura 1.19 Polígonos de fuerzas

Si el sistema de fuerzas es concurrente, como el de la Fig. 1.16.a, la resultante queda completamente determinada pues se conoce un punto de su línea de acción, el punto de concurrencia O. En el caso de un sistema de fuerzas no-concurrentes como el de la Fig. 1.17.a también se puede construir su polígono, como se muestra en la Fig. 1.19.b; ello permite encontrar la resultante en magnitud y dirección, pero no se conoce su línea de acción ya que no se dispone de un punto de ella. Para definir ese punto hay que realizar la construcción de la Fig. 1.17 o recurrir al polígono funicular que se presentará en la Sección 1.4.5.

Una situación de particular importancia es aquella en que el polígono de fuerzas es cerrado, es decir, la última fuerza termina exactamente en el punto de inicio de la primera, como se muestra en la Fig. 1.20. Este caso corresponde a un sistema de fuerzas con resultante nula, condición fundamental para el equilibrio de un sistema. Por esta razón, el polígono de fuerzas se utilizará más adelante como una herramienta geométrica fundamental para encontrar relaciones entre las fuerzas en un sistema en equilibrio.

Figura 1.20 Sistema con polígono de fuerzas cerrado

1.4.4 Descomposición de Fuerzas

Una fuerza puede descomponerse según dos direcciones cualesquiera aplicando la Ley del Paralelogramo en forma inversa. Dada la fuerza P y las direcciones 1 y 2 de la Fig. 1.21.a, las componentes P₁ y P₂ de P se obtienen completando el paralelogramo que tiene a P como diagonal, como se muestra en la Fig. 1.21.b. Obviamente se cumple que la fuerza P es estáticamente equivalente al conjunto de sus dos componentes, es decir:

Figura 1.21 Descomposición de una fuerza

Figura 1.22 Proyecciones ortogonales de una fuerza

Es muy usual y conveniente aplicar la descomposición utilizando dos direcciones perpendiculares entre sí, las que normalmente son referidas como ejes ortogonales, o sistema de ejes cartesiano. La Fig. 1.22 muestra una fuerza P que se ha descompuesto en sus componentes P_x y P_y según los ejes x e y. P_x y P_y se denominan también proyecciones de P sobre los ejes x e y respectivamente.

Obviamente:

Las proyecciones ortogonales tienen la ventaja de permitir usar las funciones trigonométricas básicas, que en un triángulo rectángulo, como el de la Fig. 1.23, se definen como:

Figura 1.23 Triángulo rectángulo

y sus inversas

Aplicando las Ecs. 1-15 y 1-16 a la Fig. 1.22 se tiene que:

y además, por ser OAB un triángulo rectángulo, en virtud del Teorema de Pitágoras se tiene que las magnitudes de P y de sus componentes cumplen con:

La Ec. 1-23 también puede demostrarse elevando al cuadrado y sumando las Ecs. 1-21 y 1-22 y utilizando la conocida identidad trigonométrica:

El Ejemplo 1.7 presenta una aplicación directa de la regla de descomposición a la solución gráfica de un problema de estática. El Ejemplo 1.8 presenta una metodología analítica general para la composición de un sistema de fuerzas concurrentes; el método se basa en descomponer primero todas las fuerzas en sus componentes, para después simplemente sumar estas últimas en forma algebraica.

Finalmente cabe mencionar que en el caso tridimensional, es decir una fuerza en el espacio, se utiliza un sistema de tres ejes coordenados ortogonales, sobre cada uno de los cuales se proyecta la fuerza para obtener las componentes P_x, P_y, P_z (Fig. 1.24). Es claro que:

Figura 1.24 Proyecciones ortogonales de una fuerza en el espacio

Ejemplo 1.7

Descomponer la fuerza P en las direcciones AC y BC para determinar los esfuerzos en las barras correspondientes. Para esta construcción se adopta una escala como la indicada en la figura en que una cierta longitud representa a tantas unidades de fuerza. Notar que la solución implica que la barra BC queda sometida a un esfuerzo interno de tracción, mientras la barra AC experimenta compresión.

Figura E1.7

Ejemplo 1.8

Determinar la resultante del sistema de cinco fuerzas concurrentes que se muestra en la Fig. E1.8.a

Figura E1.8.a

Solución: Los cálculos de las componentes x e y de cada una de las fuerzas se organizan en la Tabla siguiente. Notar que los signos negativos indican componentes que tienen el sentido negativo de los ejes de referencia.

Figura E1.8.b

La suma de las proyecciones de las fuerzas sobre el eje x es la componente P_x de la resultante, y análogamente P_y para el eje y. La resultante P, según la Ec. 1-23, tiene magnitud (Fig. E1.8.b):

y su dirección queda dada por el ángulo β:

Notar que en la fórmula anterior se usó el valor absoluto de P_y ya que no se está utilizando el signo trigonométrico del ángulo β sino sólo su magnitud.

1.4.5 El Polígono Funicular

El procedimiento indicado en la Sección 1.4.2 para determinar la resultante de un sistema de fuerzas no concurrentes (Fig. 1.17), que consiste en la aplicación sucesiva de las leyes de transmisibilidad y del paralelogramo, puede reemplazarse por una construcción más conveniente, el polígono funicular, que también es aplicable al caso de un sistema de fuerzas paralelas. Además de ser una solución alternativa para los casos señalados, la mayor importancia de esta construcción radica en que permite profundizar algunos aspectos conceptuales del trabajo con sistemas de fuerzas, y en que ayudará a comprender el funcionamiento de una forma estructural muy notable en la historia de la arquitectura: el arco.

Figura 1.25.a Polígono Funicular

Figura 1.25.b Polígono de Fuerzas

Sea un sistema de fuerzas coplanares que actúan sobre un cuerpo rígido, tales como P₁, P₂, P₃ y P₄ en la Fig. 1.25.a. Las etapas de la construcción del polígono funicular son las siguientes:

a) Primero se construye el polígono de fuerzas, ABCDE en la Fig. 1.25.b, con el cual se determina la magnitud y dirección de la resultante R, pero no se conoce la posición precisa de su línea de acción.

b) Se escoge un punto arbitrario en el plano, tal como el punto O en la Fig. 1.25.b, que se denomina foco o polo. Desde el foco se trazan los rayos OA, OB, OC, OD, y OE a los extremos de las fuerzas P₁ a P₄.

c) Se escoge arbitrariamente un punto de arranque, a partir del cual se comenzará a construir el polígono funicular. Este es el punto S_o en la Fig. 1.25.a.

d) Pasando por S_o se traza una recta paralela al rayo OA, hasta interceptar la fuerza P₁ en el punto S₁; la recta trazada constituye el primer lado del polígono funicular. Pasando por S₁ se traza una recta paralela al rayo OB, hasta interceptar la fuerza P₂; la recta S₁S₂ constituye el segundo lado del polígono funicular. Y así, sucesivamente, trazando paralelas a OC, OD y OE se obtienen los lados S₂S₃, S₃S₄, y a partir de S₄ el último lado del polígono funicular.

e) El punto Q, intersección de la prolongación del primer y del último lado del polígono funicular, es un punto de la línea de acción de la resultante R, quedando ésta totalmente determinada. Se tiene entonces que

La calificación de “funicular” dada al polígono se debe a que tiene la forma que adoptaría un hilo sin peso, sujeto en sus extremos (puntos S_o y S₅), al ser sometido a las fuerzas P₁, P₂, P₃ y P₄ actuando en los puntos S₁, S₂, S₃ y S₄. Claramente dicho hilo se encontraría sometido a un esfuerzo de tracción en toda su longitud.

La analogía con el hilo facilitará explicar el fundamento de la construcción anterior. Para ello, se reconstruirá la Fig. 1.25 indagando sobre el equilibrio parcial de cada una de las fuerzas P_i dadas. Observando el polígono de fuerzas de la Fig. 1.26.b, y recordando que el punto O fue arbitrariamente elegido, se puede pensar que los rayos BO y OA(con sentido de B hacia O y de O hacia A) representan dos fuerzas arbitrarias F₂ y F_{11112121232232343454212234}